Problemas
La pérdida de masa del Sol: un problema de grandes dimensiones
El proceso mediante el cual el Sol irradia su energía, implica que cierta porción de la masa solar desaparezca a cada instante (se consuma). La masa que es consumida en este proceso ha sido estimada por los científicos en 4,2 millones de toneladas por segundo. Esto parece impresionante a primera vista, pero la masa del Sol ha sido estimada en: 2.200.000.000.000.000.000.000.000.000 de toneladas.
1. Dadas estas cantidades ¿cuál es el porcentaje de la masa del Sol que se pierde en cada segundo?
2. Suponiendo que la edad del Sol es de 6.000 millones de años, tal como lo piensan los astrónomos hoy, y haya emitido todo el tiempo esa misma energía ¿qué fracción de la masa del Sol se ha consumido hasta hoy?
Sugerencia: Usa una calculadora o una planilla electrónica para facilitar los cálculos aritméticos.
Fuente: Isaac Asimov. (1999). Nueva Guía para la Ciencia. Barcelona: Plaza y Janés, editores.
Imagen del Sol
El cuadrado mágico: un juego de números
Este es un famoso juego de ingenio pero que requiere de conocimiento matemático para su solución. Se trata de ordenar en un cuadrado de 3 x 3 los números del 1 al 9, de modo que todas sus filas, columnas y diagonales sumen lo mismo. ¿Te atreves a enfrentar el desafío?
Sugerencia: a través de una ecuación simple, calcula
cuánto es lo que deben sumar las filas, columnas y diagonales para que
se cumpla la primera condición del cuadrado mágico y después intenta ordenar
los números.
Un problema de mosaicos
De los diseños que te presentamos a continuación del artista holandés Maurits Escher, investiga cuál es el menor motivo que, mediante traslaciones, da origen a todo el mosaico.
El libro de los espejos
Toma dos espejos planos de la misma medida (15 cm. x 10 cm. por ejemplo) y únelos con cinta adhesiva por el lado mayor, de manera que formen lo que vamos a llamar “el libro de los espejos”. Coloca el libro de los espejos sobre cualquier figura que tengas dibujada y varía el ángulo formado por los dos espejos o bien la posición del libro.
¿Qué ves?, ¿qué puedes decir respecto de la simetría de estas imágenes?, ¿puedes dibujarlas en tu cuaderno?
Imagen extraída de Matemáticas Secundarias 3, Jorge Vizmanos
Mosaicos a partir de un triángulo
Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este modo se llama triside y permite recubrir un plano. Intenta haciendo tu propio diseño y recubriendo el plano con él.
¿A qué hora estará listo el te de montaña?
A nivel del mar el agua hierve a 100 grados Celsius. A esa temperatura se le llama punto de ebullición. Este punto de ebullición no es constante y cambia a medida que varía la altura, de acuerdo con la siguiente función:
t = 100 – 0,001 h
Donde t es la temperatura en grados Celsius y h es la altura en metros.
1. Averigua a qué altura está ubicado el lugar de tu liceo determina la temperatura a la que hierve el agua en ese lugar.
2. Determina cuál es la temperatura que hierve el agua en el monte Everest en los Himalaya (8.848 metros sobre el nivel del mar).
Viaje al centro de la Tierra
El centro de la Tierra es una masa de magma incandescente que hierve a altas temperaturas. Esto lo podemos apreciar directamente a través de la actividad de los volcanes. Por ello, cuando se hacen excavaciones hacia el centro de la Tierra la temperatura aumenta acorde con la profundidad de la excavación, siguiendo aproximadamente la siguiente función:
t = 15 + 0,01 d
Donde t es la temperatura en grados Celsius y d es la profundidad en metros desde la corteza terrestre.
1. Calcula que temperatura se obtiene al alcanzar los 100 metros de profundidad.
2. Determina cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de 100 grados.
3. ¿Cómo crees que afecta este fenómeno el trabajo de una mina subterránea como “El Teniente” por ejemplo?
Imagen extraída de Internet Familia
Esto es un problema de “proporciones”....
A continuación, se enuncian una serie de relaciones entre magnitudes y tu debes determinar si son directa o inversamente proporcionales.
1. Altura de un árbol y su sombra.
2. Número de personas y tiempo que tardan en completar un trabajo.
3. Distancia recorrida por un tren y tiempo que se demora en hacerlo.
4. Número de llaves que alimentan un estanque de agua y el tiempo que se demora en llenarse.
5. Cantidad de alimentos comprados en un supermercado y el dinero pagado por ellos.
6. Tiempo que demora un viaje en bus y velocidad del mismo.
Un problema de decisiones
Una empresa de arriendo de vehículos de Osorno ofrece dos contratos diferentes.
Contrato A: $ 22.000 por día y kilometraje ilimitado.
Contrato B: $ 5.000 por día y $ 50 por kilómetro recorrido.
Un turista quiere hacer un viaje de 8 días por la Región de Los Lagos, pero obviamente no sabe cuántos kilómetros va a recorrer, con lo cual no sabe cuál es la oferta que más le conviene.
¿Tu le podrías ayudar a tomar la decisión?, ¿habrá algún punto de equilibrio donde de lo mismo el tipo de contrato elegido?
Sugerencias: Intenta primero hacer algunas pruebas simulando casos concretos, por ejemplo, qué pasa si recorre 1.000 kilómetros; qué pasa si recorre 5.000. Eso te dará una idea aproximada de lo que está ocurriendo.
Algunas sorpresas de los números
En el problema siguiente se trata de investigar qué pasa con los números racionales cuando trabajamos con enteros negativos y positivos.
1. Si la letra x representa un número entero positivo, ¿cuál de los dos es el número mayor: x/3 o 2x/5?
2. Si la letra x representa un número entero negativo, ¿cuál de los dos es el número mayor: x/3 o 2x/5?
Construye un rectángulo áureo
La proporción áurea o divina, fue descubierta por los griegos y relaciona los lados de un rectángulo llamado precisamente áureo o divino.
Rectángulo
áureo
Cuadro de Salvador Dalí titulado Semitanza gigante volante
Para que un rectángulo sea áureo, debe cumplirse que a:b=(a+b):a igual a una constante llamada sección áurea y cuyo valor es (1+Ö5)/2 cuyo valor aproximado es 1,6180339...
Muchas construcciones griegas antiguas como el Partenón en Atenas y también otras modernas en todo el mundo han sido construidas usando estas proporciones, por el particular sentido de armonía que generan los rectángulos construidos de esta manera.
1. Tu primera misión es calcular las dimensiones que debe tener una caja rectangular cuyo lado menor está dado y vale 20 cm, para que esté los más aproximadamente posible en sección áurea.
2. Tu segunda misión es medir objetos rectangulares (cajas de zapatos, interruptores de luz, marcos de puertas y ventanas, etc.), anotar cuidadosamente sus medidas y comprobar si están o no en proporción aurea. Verifica, además, si aquellos que están aproximadamente en proporción áurea se ven más armoniosos o no.
imagen
del Partenón