El planteamiento de las ecuaciones y, por ende, las ecuaciones, nacen del modelamiento de situaciones que pueden reflejar el comportamiento de fenómenos físicos o problemas que es factible encontrar en la vida diaria. A continuación veremos algunos ejemplos de ecuaciones usadas en diferentes contextos.

Historia

Las ecuaciones: un problema con historia

El matemático Al-Kahaun planteó el siguiente problema: “Encontrar un número cuyo cuadrado es igual a 40 veces el número menos 4 veces su cuadrado”, lo que se puede expresar en forma simbólica con la ecuación siguiente.

x² = 40x - 4x²

En general, en las ecuaciones la letra x representa la incógnita o valor desconocido que es necesario encontrar para resolver el problema y que los matemáticos hindúes llamaban “la cosa”.

Vida diaria

¿Cuánto debo ahorrar para financiar mis vacaciones de verano?

He aquí una pregunta muchas veces realizada y que con el planteamiento de una sencilla ecuación puede ser resuelta. El caso es que un estudiante desea ahorrar dinero durante 10 meses para poder financiar sus vacaciones de verano. La meta que desea alcanzar al final del periodo de ahorro es contar con $200.000. Analizando sus posibilidades reales de ahorro (dinero que le dan sus padres, trabajos de fin de semana, donaciones varias) y el promedio de los intereses, concluye que puede ahorrar en cada mes una cantidad fija de $ 10.000. ¿Será suficiente?, ¿necesitará contar con un capital inicial?, ¿cuánto debe ser su capital inicial, en caso que lo necesite?

Cómo elegir una mejor alternativa para invertir

Comúnmente los inversionistas de capital (personas o instituciones que cuentan con dinero para financiar proyectos de inversión en empresas o instrumentos financieros de diverso tipo), se enfrentan a la disyuntiva de saber cómo les conviene diversificar sus inversiones para obtener mejor rentabilidad. Este problema no es otra cosa que decidir qué cantidad de dinero destina a las diversas alternativas que tiene, tales como: bonos, acciones, cuentas de ahorro, fondos mutuos, etc. y para solucionarlo son útiles las ecuaciones.

En este ejemplo, un inversionista tiene $11.200.000 para invertir. Si invierte una parte al 8% de interés en bonos y el resto al 12% en fondos mutuos. ¿Cuál es la cantidad que debe invertir en cada instrumento para obtener un 11% de rentabilidad sobre el total de la cantidad invertida?

Técnica

Planificación de escenarios

Una aplicación muy común de las ecuaciones es cuando se deben anticipar cálculos futuros, para saber si ciertas acciones están bien encaminadas o no. A continuación se presentan dos ejemplos relacionados con la planificación de escenarios futuros en una empresa.

En el primer ejemplo, una empresa de camiones tiene una flotilla de 5 camiones de 2 toneladas de carga cada uno y estudia un posible contrato con una Municipalidad, que requerirá retirar 63 toneladas de escombros. Los horarios fijados por la Municipalidad para estas faenas limitan el uso de cada camión a dos viajes diarios. Para poder dimensionar el trabajo, la empresa debe responder a las preguntas: ¿Cuántos viajes se deberán planificar, dadas las restricciones impuestas?, ¿Cuántos días deberá mantener ocupada su flota y, por lo tanto, no comprometerla en otros trabajos? Otros valores a considerar en la ecuación son: los $50.000 en combustible que gasta cada camión al día en promedio, $30.000 de bono diario para el chofer y, además, el valor diario de una pala mecánica que cuesta $ 300.000.

El problema a resolver es: ¿cuál es el valor mínimo que debería cobrar la empresa para no perder plata en el contrato?, lo que se puede hacer planteando de manera adecuada un conjunto sencillo de ecuaciones.

Un segundo ejemplo corresponde a una compañía de grabación que debe evaluar la producción de un CD promocional de un grupo musical emergente. Ellos saben que el producir cualquier disco de un grupo emergente tiene un costo inicial de $ 9.900.800. Este es un costo fijo que incluye la grabación, el diseño de la carátula y otros costos difíciles de detallar. Los costos variables, que incluyen la producción, comercialización, promoción, etc. han sido estimados en $ 2.576 por CD. Todos los últimos estudios de mercado indican que el álbum se puede vender al por mayor a las tiendas minoristas (como La Feria del Disco por ejemplo) a un precio de $ 4.480. Lo que se requiere saber es ¿cuántos discos debe vender la compañía para no perder dinero en la operación?

Nuevamente, la respuesta surge de manera muy simple si se plantea y resuelve correctamente una sencilla ecuación.

Ciencias Naturales

La relación entre masa y energía descubierta por Einstein

Albert Einstein (1879-1955)

Este físico alemán nacionalizado estadounidense, premiado con un Nobel, es considerado uno de los mayores científicos de todos los tiempos. Tres artículos suyos publicados en 1905 fueron trascendentales para el desarrollo de la física e influyeron en el pensamiento occidental en general. Los artículos trataban de la naturaleza de la luz, describían el movimiento molecular e introducían la teoría de la relatividad restringida. Einstein es famoso por replantearse continuamente suposiciones científicas tradicionales y sacar conclusiones sencillas a las que nadie había llegado antes. No se conoce tanto su compromiso social, aunque era un ardiente pacifista y sionista.

Como una conclusión de su teoría especial de la relatividad, Einstein había propuesto a principios del siglo XX que masa y la energía no eran más que dos aspectos diferentes de una misma cosa, y que, por lo tanto, la masa se podría transformar en energía y la energía en masa siempre que se encontrase un sistema adecuado. Esta transformación vendría recogida en una ecuación:

E = mc²

quizás la más conocida de toda la física moderna, cuya expresión es E=m c² y significa que, con mecanismos adecuados, una cierta cantidad de masa m se puede transformar en una cantidad de energía E, cuyo valor viene dado por el valor de la masa multiplicado por el cuadrado del valor de la velocidad de la luz en el vacío (estimada en 300.000 kilómetros por segundo). La velocidad de la luz es tan grande que, por muy pequeña que sea la masa transformada, la cantidad de energía obtenida será considerable. Una aplicación directa de este conocimiento es la energía atómica.

Fuente: Enciclopedia Microsoft® Encarta® 98 © 1993-1997. Microsoft Corporation.

Escalas de temperatura

Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 °F, y su punto de ebullición es de 212 °F. La escala centígrada o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 °C al punto de congelación del agua y de 100 °C a su punto de fusión. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin, inventada por el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, el cero absoluto, que está situado en -273,15 °C, corresponde a 0 K, y una diferencia de un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada.  La transformación de temperatura Celsius a Fahrenheit está dada por la siguiente ecuación:

Ley de los gases ideales

La teoría atómica de la materia define los estados, o fases, de acuerdo al orden que implican. Las moléculas tienen una cierta libertad de movimientos en el espacio. Estos grados de libertad microscópicos están asociados con el concepto de orden macroscópico. Las moléculas de un sólido están colocadas en una red, y su libertad está restringida a pequeñas vibraciones en torno a los puntos de esa red. En cambio, un gas no tiene un orden espacial macroscópico. Sus moléculas se mueven aleatoriamente, y sólo están limitadas por las paredes del recipiente que lo contiene.

Se han desarrollado leyes empíricas que relacionan las variables macroscópicas. En los gases ideales, estas variables incluyen la presión (p), el volumen (V) y la temperatura (T). La ley de Boyle-Mariotte afirma que el volumen de un gas a temperatura constante es inversamente proporcional a la presión. La ley de Charles y Gay-Lussac afirma que el volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. La combinación de estas dos leyes proporciona la ley de los gases ideales:

PV = nRT

(n es el número de moles), también llamada ecuación de estado del gas ideal. La constante de la derecha, R, es una constante universal cuyo descubrimiento fue una piedra angular de la ciencia moderna.