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Representación decimal de un número racional

Se llama fracción decimal a una fracción cuyo denominador es una potencia entera de 10

Ejemplo

1.    son fracciones decimales.

2.   Todo número entero puede ser representado como fracción decimal, por ejemplo:

3.   El número racional  se puede representar por la fracción decimal  ya que:

4.   El número racional  puede ser representado por la fracción decimal , ya que:

5.   El número racional  no puede ser representado por una fracción decimal, puesto que ninguna potencia entera de 10 es divisible por 3.

El último ejemplo muestra que no todo número racional es representable como fracción decimal.

Para poder representar un número racional como fracción decimal, su denominador debe ser un factor de alguna potencia de 10. Veamos cuales son los factores primos de 10, 100, 1000.

Del cálculo anterior podemos deducir que los únicos factores primos de 10ⁿ son 2 y 5. Por lo tanto, solamente los números racionales cuyos denominadores contienen sólo potencias enteras de 2 y 5 pueden representarse como una fracción decimal.

Un número decimal finito es un número racional que puede ser representado por una fracción decimal.

Ejemplo

 son números decimales finitos.

 no es un número decimal finito.

¿Cómo reconocer si un número racional es un número decimal finito?

1º  Escribirlo en su forma de fracción irreducible.

2º  Si el denominador obtenido en el paso 1 contiene sólo potencias de de 2 y 5, entonces el número se puede escribir como un número decimal finito.

Ejemplo

1. El número racional   puede ser escrito como decimal finito.

.

2. El número racional  no puede ser escrito como decimal finito, ya que su denominador tiene factores distintos a potencias de 2 y 5,

35 = 7 x 5

Escritura decimal de un número decimal finito
Consideremos el número decimal , donde p es un entero y n es natural o cero.

Como p es un entero él se escribe mediante r dígitos:

p = p₁p₂ ... p_r 

Contando desde el último dígito hacia la izquierda n lugares se escribe una coma.
Entonces :

,

.

Ejemplo

Al efectuar la operación de división , observamos que ésta contiene enteros por la cual el lugar de la unidad está ocupado por cero.

Los números racionales que no son decimales finitos

Hemos visto que solamente las fracciones irreductibles cuyo denominador contiene sólo potencias de 2 ó 5 tienen una representación decimal finita.

Es decir  son números racionales que no tienen una representación decimal finita.

¿Qué sucede con ellos?

Explícitamente, la división es:

Al dividir 1 por 6, vemos que en la tercera etapa del proceso de división la situación se torna estacionaria, es decir, el residuo se repite una infinidad de veces. En estos casos el proceso de división es infinito a diferencia del caso antes visto.

¿Qué es lo que hace un proceso de división de dos enteros sea finito o infinito?

Al dividir dos enteros p y q, los posibles restos son:

0 , 1 , 2 , ... , q-1

a) Si en alguna etapa aparece el resto cero, el proceso de división termina ahí y, por lo tanto, es finito.

b) Si el resto cero no aparece, entonces el proceso se torna infinito y periódico. En este caso las posibilidades de resto, son:

1 , 2 , ... , q-1

Por ser una cantidad finita de posibilidades, en alguna etapa alguno de los números entre 1 y (q-1) se repite, en este instante el proceso se torna periódico.

Por lo tanto:

Todo número racional  puede ser representado por un número decimal finito o por un números decimal periódico y recíprocamente: todo número decimal finito o decimal periódico representan un número racional.

Notación: El período de un número decimal infinito se denota, escribiendo una vez el período con una raya sobre él.

Ejemplo

.

.

Observación importante: Las representaciones no son excluyentes, es decir un número racional puede ser escrito como número decimal finito o como número decimal periódico.

1. Todo número decimal periódico puede ser escrito como un número racional
   Ejemplo
   ¿Qué número racional representa ?

Restando miembro a miembro queda:

El cual representa un número racional.

2. Todo número entero puede ser escrito como un decimal periódico.

Ejemplo

Restando:

3. Todo número decimal finito puede ser representado por un decimal periódico.

Ejemplo 1

La parte decimal puede ser escrita como:

Entonces:

Ejemplo 2

4. La escritura decimal de un número racional cualquiera es periódica. Es consecuencia del ejemplo anterior, o también en los casos de decimales finitos el cero puede ser considerado el período.