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En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.

En la ecuación: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x es la incógnita

En la ecuación 5z – 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: $150) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.

Un norteamericano llega a Chile y manifiesta que la temperatura ambiental es de 85 ° Farenheit ¿cuál es la temperatura ambiental en grados Celsius? Si C representa la temperatura en grados Celsius se cumple la relación:

85 = 9/5 C + 32, C es la incógnita y el valor C=265/9 es la solución.

En: a x + 8 = 3, el valor x=-5/a es la solución.

En 4x²–3x+2=2 los valores x= 0 y x=3/4 son soluciones.

Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita.

Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.

8x² + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.

4 x³ + 35 x² –3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad.

Por ejemplo la ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con $500 es $50.

En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a aislar la incógnita mediante operaciones que preservan la igualdad.

85 = 9/5 C + 32 (caso de los grados Celsius y Fahrenheit)

restando 32 a ambos lados de la igualdad

85 – 32 = 9/5 C

53 = 9/5C

multiplicando por 5

53x5 = 9C

265 = 9C

dividiendo por 9

265/9=C

29,444 = C.

Luego 85° Fahrenheit equivalen a 265/9=29,444° Celsius.

En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja.

Notemos los siguientes casos:

a) Pertinencia de la solución:

Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:

5 x = 24

La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).

b)Existencia de la solución

La ecuación

4x + 5 = 2

no tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.

La ecuación

4x.x = -7

no tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.

c) Infinitas soluciones

La ecuación

2 + x + x = 2(x+1)

es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones.

NOTA METODOLÓGICA:

No basta con resolver una ecuación sino que también hay que analizar la pertinencia de la solución, esto es si la solución pertenece al conjunto definido por la situación particular a la que se refiere la ecuación.