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.

Una aproximación se llama por defecto, si el valor aproximado es menor que el valor exacto y se llama por por exceso, si es mayor que el valor exacto.

Ejemplo 1   Al efectuar la operación

,

se tiene un proceso que puede prolongarse indefinidamente, por esta razón es necesario detener la división en alguna etapa. Los valores obtenidos en cada etapa de la división:

son valores aproximados del número

.

En este caso podemos observar que todos los valores aproximados son menores que el valor exacto, por lo tanto todos ellos son aproximaciones por defecto de .

en este tipo de aproximación se sustituyó en número decimal periódico por un decimal finito.

Ejemplo 2   Cuando x es un número cercano a cero, 1 + 2x es una aproximación de (1 + x)²:

En este tipo de aproximación se utiliza el hecho que las potencias de exponente entero de un número positivo y menor que 1 son menores que el número. En particular, en este caso no se considera x². Por lo tanto, la aproximación es menor que el valor exacto y el error es x². Un caso particular que ilustra esta situación es la siguiente:

El error cometido es:

.

Ejemplo 3   Si al medir el lado de una placa cuadrada esta mide 1 metro con un error de 3mm. ¿Qué error se comete al calcular el área de la placa?

El error expresado en metros es 0,003 m. Como no se dice si el error es por defecto o por exceso, la longitud del lado puede variar entre 1 - 3 x 10 ^-3 y 1 + 3 x 10 ^-3. Por lo tanto, el área es:

El error aproximado en la medición del área es de 6 milésimas, usando la aproximación del ejemplo anterior.

Ejemplo 4   Aproximación de un número irracional mediante un número decimal finito

Dando por sabido que es un número irracional y que

0 < a < b es equivalente a a² < b²

una forma de encontrar una aproximación de es la siguiente:

Como es un número tal que su cuadrado es 2, y

1² < 2² = 4

Entonces:

1 < < 2

Para calcular una aproximación de con un decimal se procede a calcular los cuadrados de todos los números entre 1 y 2 con un decimal, hasta encontrar una valor menor y valor mayor que .

Estos cálculos nos indican que está entre 1, 4 y 1, 5. Así, podemos afirmar que:

1,4 < < 1,5

En esta caso, tenemos que, 1,4 es una aproximación por defecto de y que 1,5 es una aproximación por exceso de . El error cometido al aproximar por 1,4 o por 1,5 es menor que una décima.

Es importante observar que ahora se puede hacer el mismo proceso, que con la ayuda de una calculadora se hace más agradable, agregando un decimal a 1,4 hasta que obtengamos dos números con el segundo decimal consecutivos y tal que uno tenga cuadrado menor que 2 y el otro tenga cuadrado mayor que dos. Entonces, podemos observar que este proceso es infinito, lo cual nos dice que podemos obtener una aproximación de con la cantidad de decimales que queramos. Otra forma de decir lo mismo es que puede aproximarse con el grado de exactitud que uno quiera.

Otros conceptos relacionados con aproximación

En el caso que la aproximación consista en reemplazar un decimal infinito por uno finito o para un decimal finito disminuir el número de decimales, suele hablarse de redondeo o truncación. La precisión de un número se expresa por la cantidad de cifras significativas. Los infinitos ceros que pueden escribirse a la izquierda o a la derecha de un número no se consideran cifras significativas, tampoco tiene importancia la ubicación de la coma.

Ejemplo 5

En todos estos números vemos que la primera cifra no nula a la izquierda es 3 y la última es 5.Por lo tanto, las cifras significativas de todos ellos son: 3, 1, 2, 0, 4, 5. Así, vemos que todos ellos tienen 6 cifras significativas.

Ejemplo 6   La masa de la Tierra, expresada con cuatro cifras significativas es

El grado de exactitud de una aproximación se mide por la cantidad de cifras significativas que permanecen fijas entre dos aproximaciones consecutivas.

Prosiguiendo con la aproximación de , tenemos que:

1,41² = 1,9881

1,42² = 2,0164

De lo que podemos deducir que:

1,41 < < 1,42

La diferencia 1,42 – 1,41 = 0,01 nos da el margen de error o el grado de exactitud de la aproximación que tiene dos cifras significativas fijas, las unidades y las décimas.