Coordenadas de un punto

La coordenada de un punto en una línea, recta u oblicua, es un número asociado a dicho punto. 
Por ejemplo, si sólo nos movemos sobre una recta graduada la coordenada de punto P es -3:

o, como ejemplo más realista, la ubicación de los arreglos en carreteras se obtiene dando el kilómetro en el que se ubican. Por ejemplo, en los informes del estado de carreteras se incluyen avisos como el siguiente: "trabajos en la ruta 5 sur a la altura del kilómetro 214". El kilómetro cero de la ruta 5 sur, en Chile, se encuentra en la plaza de armas de la capital, Santiago.

En el caso de los planos, en el sistema de coordenadas más usual, se necesitan dos coordenadas para determinar o ubicar un punto en él. En algunas excavaciones arqueológicas se utilizan las coordenadas para determinar la ubicación original de las piezas encontradas a medida que se excava. La fotografía muestra la excavación del Cerro del Judío, en el pueblo de San Bernabé, al sur-oeste de la ciudad de México.  

Las coordenadas son muy útiles en muchos ámbitos. Una manera más profunda de verlas es la siguiente. 

Sistema de coordenadas

Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano.

El sistema al que nos referiremos a continuación es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal. Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí X'X e Y'Y llamadas ejes de coordenadas.

La recta X'X recibe el nombre de EJE X y la recta Y'Y recibe el nombre de EJE Y.

La intersección entre el Eje X y el Eje Y es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.

 El origen del sistema divide a cada eje en dos semi-ejes:

(a)   las ABSCISAS ubicadas a la derecha del eje Y, respecto del origen, son positivas y las ubica­das a la izquierda son negativas.

(b)   las ORDENADAS ubicadas hacia arriba del eje X, respecto del origen, son positivas y las ubica­das hacia abajo son  negativas.

 Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, numerados según se muestra en la Figura 1.

  Figura 1.  

Representación de puntos en el Plano

Todo punto P del plano, queda determinado por un par de números reales x e y que se llaman  COORDENADAS del punto P y se representan por el par de coordenadas (x,y).

La coordenada x de P se llama ABSCISA. La coordenada y de P se llama ORDENADA.

Los puntos en el plano se designan por las letras mayúsculas: A, B, C, P etc.

Figura 2.

Casos especiales

Primer caso: Los puntos cuyas ordenadas son cero, están sobre el eje X o eje de las abscisas. 
Segundo caso: Los puntos cuyas abscisas son cero, están sobre el eje Y o eje de las ordenadas.

Unicidad del par ordenado

A cada punto P del plano coordenado le corresponde un y solo un par de coordenadas (x,y). Recíprocamente a cada par de coordenadas (x,y) le corresponde un y sólo un punto en el plano coordenado.

Si consideramos un punto P y decimos que tiene coordenadas 5 y 2, entonces tendremos que ellas pueden determinar dos puntos diferentes: P₁ = (5,2) y P₂ = (2,5). De aquí surge la necesidad de especificar cuál de ellos es el punto P. Para esto se considera el orden de las coordenadas, es decir, se escribirá en primer lugar la abscisa y en segundo lugar la ordenada. Por lo tanto si el punto P tiene abscisa 5 y ordenada 2, entonces P₁ es nuestro punto P y P₂  es otro punto.   

Figura 3.

Determinación de las coordenadas de un Punto

Todo punto del plano puede localizarse por medio del sistema de coordenadas rectangular:

Forma A.

Todo punto P en el plano, puede localizarse a través de coordenadas. Las coordenadas de P se obtienen trazando PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y.

La longitud del segmento OA es la abscisa de P y se representa por x. La longitud del segmento OB es la ordenada de P y se representa por y.

Por lo tanto los números reales x e y son las coordenadas del punto P = (x,y).

Figura 4.

Forma B.

Si un punto P está ubicado a cuatro unidades a la derecha del eje Y, y a tres unidades sobre el eje X, entonces se dice que el punto P tiene coordenadas (4,3) como se muestra:

 
Figura 5.

Determinación de un punto por sus coordenadas

Las coordenadas de un punto determinan el punto. Conocidas las coordenadas de un punto, puede ser localizado en el plano.

Para ubicar el punto P cuyas coordenadas son (-4,-5), tomamos sobre OX', de O hacia la izquierda cuatro veces la unidad escogida, porque el 4 es negativo. Ahí bajamos una perpen­di­cu­­lar a OX' y sobre ella bajamos cinco veces la unidad, porque el 5 es negativo.

Figura 6.